Exercice 2, § 17

Soit B une algèbre de degré fini $n$ sur le corps commutatif K. Pour tout élément $b$ de B, on note Pm$_{B/K}(b; X)$ le polynôme minimal de $b$ sur K (V, p. 15). On a Pm$_{B/K}(b; X) =$ Pm$_{B^o/K}(b; X)$.

a) Démontrer que Pm$_{B/K}(b; X)$ divise Pc$_{B/K}(b; X)$, lequel divise (Pm$_{B/K}(b; X)$)$^n$.

b) Pour toute extension L de K, on a Pm$_{B_{(L)}/L}(1\otimes b; X) =$ Pm$_{B/K}(b; X)$.

c) Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de B sur $K,\mathbf{Y} = (Y_i)_{i\in I}$ une famille d’indéterminées. On appelle polynôme principal de l’algèbre B relativement à la base $(e_i)$, et on note $P((e_i); X;\mathbf{Y})$, ou simplement $P(X;\mathbf{Y})$, le polynôme minimal sur $K(\mathbf{Y})$ de l’élément $\sum_{i\in I}Y_ie_i$ de $B_{(K(\mathbf{Y}))}$. $*$ Démontrer qu’il appartient à $K[X;\mathbf{Y}] ($cf. AC, VII, p. 230, lemme 1 et th. 2).

d) Soient $(e'_i)$ une autre base de B sur K et $(\lambda_{ij})$ la matrice à coefficients dans K telle que $e_i=\sum_j\lambda_{ij}e'_j$ pour $i\in I$; si l’on pose $Y'_i=\sum_j\lambda_{ji}Y_j$, on a $P((e_i); X;\mathbf{Y}) =$ $P((e'_i); X;\mathbf{Y}')$. Soit $b=\sum_i\beta_ie_i$ un élément de B ; le polynôme $P((e_i); X;\beta_1, . . . , \beta_n)$ est indépendant du choix de la base $(e_i)$; on dit que c’est le polynôme principal de $x$ sur K. Il divise Pc$_{B/K}(b; X)$, et est multiple de Pm$_{B/K}(b; X).*$

e) Soit $B'$ une autre K-algèbre de degré fini ; calculer le polynôme principal de l’algèbre $B\times B'$ relativement à une base convenable.