Bài tập 4, § 19

Cho $(F, s)$ là một đại số Cayley trên K Artin (kết hợp), và cho $\mathfrak{r}$ là căn của nó. a) Chứng minh rằng ta có $x^2= 0$ và $s(x) =-x$ với mọi $x\in \mathfrak{r}$; đại số $\overline{F}= F/\mathfrak{r}$ là Cayley và đẳng cấu với một trong các đại số được mô tả trong Bài tập 3.

b) Chứng minh rằng nếu $\overline{F}$ là một đại số quaternion trên K, thì $\mathfrak{r}$ bằng 0 (nhận xét rằng ta có $(ab-ba)x= 0$ với $a, b\in F,x\in \mathfrak{r}$). c) Giả sử rằng $\overline{F}$ là giao hoán. Chứng minh rằng $\mathfrak{r}^3$ bằng 0 nhưng $\mathfrak{r}^2$ có thể không bằng 0.

d) Giả sử rằng $\overline{F}$ là giao hoán và $\mathfrak{r}^2$ bằng 0. Chứng minh rằng tồn tại một F-môđun V sao cho F đẳng cấu với $\overline{F}\oplus V$ được trang bị cấu trúc của một đại số trên K mà đối với đó ta có $(\lambda , v)(\mu, w) = (\lambda \mu, \lambda w+s(\mu)v)$. (Trong các trường hợp $\alpha$ ) đến $\gamma )$ của Bài tập 3, c), dùng Hệ quả 1 của VIII, p. 245. Trong trường hợp $\delta )$, chọn một cơ sở $p$-cơ sở $(e_i)_{i\in I}$ của $\overline{F}$ trên K và với mỗi $i\in I$, một phần tử $f_i$ của F nâng $e_i$, và chứng minh rằng đại số con của F sinh bởi các $(f_i)$ là đẳng cấu với F.)