Exercice 4, § 19

Soient $(F, s)$ une K-algèbre cayleyenne (associative) artinienne, et $\mathfrak{r}$ son radical.

a) Prouver qu’on a $x^2= 0$ et $s(x) =-x$ pour tout $x\in \mathfrak{r}$; l’algèbre $\overline{F}= F/\mathfrak{r}$ est cayleyenne et isomorphe à l’une des algèbres décrites dans l’exerc. 3.

b) Si $\overline{F}$ est une algèbre de quaternions sur $K,\mathfrak{r}$ est réduit à 0 (observer qu’on a $(ab-ba)x= 0$ pour $a, b\in F,x\in \mathfrak{r}$).

c) On suppose $\overline{F}$ commutative. Démontrer que $\mathfrak{r}^3$ est réduit à 0 mais pas nécessairement $\mathfrak{r}^2$.

d) On suppose que $\overline{F}$ est commutative et $\mathfrak{r}^2$ réduit à 0. Démontrer qu’il existe un F-module V tel que F soit isomorphe à $\overline{F}\oplus V$ munie de la structure de K-algèbre pour laquelle on a $(\lambda , v)(\mu , w) = (\lambda \mu , \lambda w+s(\mu )v)$ (dans les cas $\alpha$ ) à $\gamma )$ de l’exerc. 3 c), utiliser le cor. 1 de VIII, p. 240. Dans le cas $\delta )$, choisir une $p$-base $(e_i)_{i\in I}$ de $\overline{F}$ sur K et pour chaque $i\in I$ un élément $f_i$ de F relevant $e_i$, et démontrer que la sous-algèbre de F engendrée par les $(f_i)$ est isomorphe à F).