Bài tập 14, § 21

Một biểu diễn của G được gọi là đơn thức nếu nó là tổng trực tiếp của các biểu diễn cảm sinh bởi các biểu diễn bậc 1 của các nhóm con của G.

a) Giả sử các biểu diễn của các nhóm con thực sự của G đều là đơn thức và G chứa một nhóm con chuẩn giao hoán không trung tâm H. Chứng minh rằng mọi biểu diễn bất khả quy trung thành của G đều là đơn thức (hãy nhận xét rằng hạn chế lên H của một biểu diễn như vậy không đẳng kiểu, và áp dụng Bài tập 9, a)).

b) Suy ra rằng mọi biểu diễn của các nhóm giải được siêu chuẩn (I, §6, p. 146, Bài tập 26), và đặc biệt của các nhóm lũy linh, đều là đơn thức.

c) Lấy G là nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{F}_3)$. Tâm Z của nó có cấp 2, và nhóm $G/Z$ đẳng cấu với nhóm luân phiên $\mathfrak{A}_4$ (II, §10, p. 422, Bài tập 14, g)); do đó, G giải được. Chứng minh rằng nhóm dẫn xuất của nó có chỉ số 3 (cf. I, §5, p. 142, Bài tập 10). Dùng công thức (8) của VIII, p. 407, suy ra rằng G có một biểu diễn bất khả quy bậc 2, và chứng minh rằng biểu diễn này không phải là đơn thức.