Exercice 14, § 21

On dit qu’une représentation de G est monomiale si elle est somme directe de représentations induites par des représentations de degré 1 de sous-groupes de G.

a) On suppose que les représentations des sous-groupes de G distincts de G sont monomiales et que G contient un sous-groupe distingué H commutatif non central ; prouver que toute représentation irréductible fidèle de G est monomiale (observer que la restriction à H d’une telle représentation n’est pas isotypique et appliquer l’exerc. 9 a)).

b) En déduire que toutes les représentations des groupes hyper-résolubles (I, p. 139, exerc. 26), et en particulier des groupes nilpotents, sont monomiales.

c) On prend pour G le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{F}_3)$. Son centre Z est d’ordre 2, et le groupe $G/Z$ est isomorphe au groupe alterné $\mathfrak{A}_4$ (II, p. 208, exerc. 14 g)) ; en particulier, G est résoluble. Prouver que son groupe dérivé est d’indice 3 (cf. I, p. 130, exerc. 10) ; à l’aide de la formule (8) de VIII, p. 397 en déduire que G admet une représentation irréductible de degré 2 et que celle-ci n’est pas monomiale.