Bài tập 18, § 21

Giả sử nhóm G là đơn nhưng không cyclic. a) Chứng minh rằng không có lớp liên hợp nào khác $\{1\}$ có lực lượng là một lũy thừa của một số nguyên tố. (Gọi C là một lớp có lực lượng $p^r$ với $r\geqslant 1$. Suy ra từ Bài tập 17, b) rằng $p^{-1}\chi_{\lambda}(1)\chi_{\lambda}(C)$ là nguyên trên $\mathbf{Z}$ khi $\lambda$ khác biểu diễn đơn vị, và suy ra một mâu thuẫn bằng cách sử dụng quan hệ trực giao thứ hai đối với các ký tự).

b) Chứng minh rằng cấp của G chia hết cho ít nhất ba số nguyên tố phân biệt (áp dụng a) cho lớp liên hợp của một phần tử trung tâm $x\not= 1$ trong một nhóm Sylow của G).

c) Chứng minh rằng một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho nhiều nhất hai số nguyên tố phân biệt là giải được (“định lý Burnside”: quy nạp theo lực lượng của nhóm, sử dụng b)).