Exercice 18, § 21

On suppose le groupe G simple mais non cyclique.

a) Prouver qu’aucune classe de conjugaison distincte de $\{1\}$ n’a pour cardinal une puissance d’un nombre premier (soit C une classe de cardinal $p^r$, avec $r\geqslant 1$; déduire de l’exerc. 17 b) que $p^{-1}\chi_{\lambda}(1)\chi_{\lambda}(C)$ est entier sur$\mathbf{Z}$lorsque $\lambda$ est distincte de la représentation unité, et obtenir une contradiction à l’aide de la seconde relation d’orthogonalité des caractères).

b) Démontrer que l’ordre de G est divisible par au moins 3 nombres premiers distincts (appliquer a) à la classe de conjugaison d’un élément $x\not= 1$ central dans un sous-groupe de Sylow de G).

c) Démontrer qu’un groupe fini dont l’ordre est divisible par au plus deux nombres premiers distincts est résoluble (« théorème de Burnside » : raisonner par récurrence sur le cardinal du groupe à l’aide de b)).