Bài tập 19, § 21

Cho $\pi$ là một biểu diễn phức bất khả quy của G có bậc $>1$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x$ của G sao cho $\chi_{\pi}(x) = 0$. (Cho $\{\lambda_1, . . . , \lambda_s\}$ là quỹ đạo của $\pi$ trong $\widehat{G}$ đối với tác động của nhóm Gal($\mathbf{C}/\mathbf{Q}$), và cho $\chi_1, . . . , \chi_s$ là các đặc trưng tương ứng. Cho $g\in G$; nếu $\chi (g)\not= 0$, thì chứng minh như trong Bài tập 17, c) rằng ta có $|\chi_1(g). . . \chi_s(g)|\geqslant 1$, và do đó $\sum_i|\chi_i(g)|^2\geqslant s($FRV, III, §1, No. 1, p. 93, Mệnh đề 2). Nếu điều này đúng với mọi $g\in G$, thì suy ra từ quan hệ trực giao đối với các đặc trưng rằng ta có đẳng thức, điều này dẫn đến một mâu thuẫn khi lấy $g= 1.)*$