Exercice 19, § 21

Soit $\pi$ une représentation complexe irréductible de degré $>1$ de G. Démontrer qu’il

existe un élément $x$ de G tel que $\chi_{\pi}(x) = 0$.

(Soit $\{\lambda_1, . . . , \lambda_s\}$ l’orbite de $\pi$ dans $\widehat{G}$ pour l’action du groupe Gal($\mathbf{C}/\mathbf{Q}$) et soient $\chi_1, . . . , \chi_s$ les caractères correspondants. Soit $g\in G$; si $\chi (g)\not= 0$, démontrer comme dans l’exerc. 17 c) qu’on a $|\chi_1(g). . . \chi_s(g)|\geqslant 1$, d’où $\sum_i|\chi_i(g)|^2\geqslant s$ (FVR, III, p. 3, prop. 2). Si ceci a lieu pour tout $g\in G$, déduire de la relation d’orthogonalité des caractères qu’on a égalité, d’où une contradiction en prenant $g= 1.)*$