Bài tập 22, § 21

Cho $n$ là một số tự nhiên. Ký hiệu $\mathscr{I}_n$ là tập hợp các dãy hữu hạn giảm gồm các số nguyên dương ngặt có tổng bằng $n$. Cho $p = (p_i)_{1 \leq i \leq d}$ là một phần tử của $\mathscr{I}_n$. Với $1 \leq i \leq d$, ký hiệu $P_i$ là tập hợp các số nguyên $r$ sao cho $p_1 + \cdots + p_{i-1} < r \leq p_1 + \cdots + p_i$, và với $1 \leq j \leq p_1$, ký hiệu $P'_j$ là tập hợp các số nguyên có dạng $p_1 + \cdots + p_{i-1} + j$ với $1 \leq i \leq d$ và $p_i \geq j$. Các tập con $P_i$, một mặt, và các tập con $P'_j$, mặt khác, tạo thành một phân hoạch của khoảng $[1, n]$ trong $\mathbf{N}$.

(Chúng ta thường biểu diễn tình huống này bằng một biểu đồ, gọi là một biểu đồ Young: trong ví dụ dưới đây, ta có $n = 9$ và $p = (4, 2, 2, 1)$. Tập hợp $P_i$ gồm các phần tử của hàng thứ $i$, và $P'_j$ gồm các phần tử của cột thứ $j$.)

<bảng> <tr> <th>1</th> <th>2</th> <th>3</th> <th>4</th> </tr> <tr> <td>5</td> <td>6</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>7</td> <td>8</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>9</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr></bảng>

Cho $\mathscr{P}$ (tương ứng $\mathscr{P}'$) là nhóm con của $\mathfrak{S}_n$ gồm các phép thế $\sigma$ sao cho $\sigma(P_i) \subset P_i$ với mọi $i$ (tương ứng $\sigma(P'_j) \subset P'_j$ với mọi $j$). a) Chứng minh rằng ta có $\mathscr{P} \cap \mathscr{P}' = \{1\}$. b) Cho $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Chứng minh rằng nếu $\operatorname{Card}(P_i \cap \sigma(P'_j)) \leq 1$ với mọi $i$ và $j$, thì $\sigma$ thuộc $\mathscr{P} \mathscr{P}'$. Suy ra rằng nếu $\sigma \notin \mathscr{P} \mathscr{P}'$, thì nhóm con $\mathscr{P} \cap \sigma \mathscr{P}' \sigma^{-1}$ chứa một phép chuyển vị. c) Trong đại số nhóm $\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$, đặt

Chứng minh rằng $c_{\mathbf{p}}$ thỏa mãn $e_{\sigma}c_{\mathbf{p}}e_{\sigma'}=\varepsilon (\sigma ')c_{\mathbf{p}}$ với mọi $\sigma \in \mathscr{P}$ và $\sigma '\in \mathscr{P}'$ và rằng mọi phần tử có tính chất này đều thuộc $\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$ (viết một phần tử như vậy dưới dạng $\sum n_{\sigma}e_{\sigma}$, và suy ra từ b) rằng $n_{\sigma}$ bằng không đối với $\sigma \notin \mathscr{P}\mathscr{P}')$. Suy ra rằng với mọi phần tử $x$ của $\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$, phần tử $c_{\mathbf{p}}xc_{\mathbf{p}}$ thuộc $\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$.

d) Ký hiệu A là đại số $\mathbf{Q}$-trên $\mathbf{Q}[\mathfrak{S}_n]$. Chứng minh rằng iđêan $V_{\mathbf{p}}= Ac_{\mathbf{p}}$ của A là một A-môđun đơn tuyệt đối. (Nhận xét rằng ta có $c_{\mathbf{p}}V_{\mathbf{p}}\subset \mathbf{Q}c_{\mathbf{p}}$ theo c). Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái được chứa chặt trong $V_{\mathbf{p}}$, thì ta có $c_{\mathbf{p}}\mathfrak{a}= 0$, và do đó $\mathfrak{a}^2= 0$ và cuối cùng $\mathfrak{a}= 0.)$

e) Chứng minh rằng ta có $c^2_{\mathbf{p}}= (n$!$/[V_{\mathbf{p}}:\mathbf{Q}])c_{\mathbf{p}}$ (tính vết của tự đồng cấu $x\mapsto xc_{\mathbf{p}}$ của A).