Exercice 22, § 21

Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $\mathscr{S}_n$ l’ensemble des suites finies décroissantes d’entiers strictement positifs, de somme $n$. Soit $p = (p_i)_{1 \leq i \leq d}$ un élément de $\mathscr{S}_n$. Pour $1 \leq i \leq d$, On note $P_i$ l’ensemble des entiers $r$ tels que $p_1 + \cdots + p_{i-1} < r \leq p_1 + \cdots + p_i$ et, pour $1 \leq j \leq p_1$, $P_j'$ l’ensemble des entiers de la forme $p_1 + \cdots + p_{i-1} + j$ avec $1 \leq i \leq d$ et $p_i \geq j$. Les sous-ensembles $P_i$ d’une part, $P_j'$ d’autre part forment une partition de l’intervalle $[1, n]$ de $\mathbf{N}$.

(On représente souvent cette situation par le dessin suivant, appelé diagramme de Young : dans l’exemple ci-dessous on a $n = 9$, $p = (4, 2, 2, 1)$; l’ensemble $P_i$ est formé des éléments de la $i$-ème ligne, et $P_j'$ de ceux de la $j$-ème colonne.)

<table> <tr> <th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th> </tr> <tr> <td>5</td><td>6</td><td></td><td></td> </tr> <tr> <td>7</td><td>8</td><td></td><td></td> </tr> <tr> <td>9</td><td></td><td></td><td></td> </tr> </table>

Soit $\mathscr{P}$ (resp. $\mathscr{P}'$) le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ formé des permutations $\sigma$ telles que $\sigma(P_i) \subset P_i$ pour tout $i$ (resp. $\sigma(P_j') \subset P_j'$ pour tout $j$).

a) Prouver qu’on a $\mathscr{P} \cap \mathscr{P}' = \{1\}$.

b) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Si Card(P$_i\cap \sigma (P'_j)$)$\leqslant 1$ quels que soient $i$ et $j$, montrer que $\sigma$ appartient à $\mathscr{P}\mathscr{P}'$. En déduire que si $\sigma \notin \mathscr{P}\mathscr{P}'$, le sous-groupe $\mathscr{P}\cap \sigma \mathscr{P}'\sigma^{-1}$ contient une transposition.

c) Dans l’algèbre de groupe $\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$, on pose

Prouver que $c_{\mathbf{p}}$ satisfait à $e_{\sigma}c_{\mathbf{p}}e_{\sigma'}=\varepsilon (\sigma ')c_{\mathbf{p}}$ quels que soient $\sigma \in \mathscr{P},\sigma '\in \mathscr{P}'$ et que tout élément possédant cette propriété appartient à $\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$ (écrire un tel élément sous la forme $\sum n_{\sigma}e_{\sigma}$, et déduire de b) que $n_{\sigma}$ est nul pour $\sigma \notin \mathscr{P}\mathscr{Q})$. En déduire que pour tout élément $x$ de $\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$, l’élément $c_{\mathbf{p}}xc_{\mathbf{p}}$ appartient à $\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$.

d) On note A la $\mathbf{Q}$-algèbre $\mathbf{Q}[\mathfrak{S}_n]$. Prouver que l’idéal $V_{\mathbf{p}}= Ac_{\mathbf{p}}$ de A est un A-module absolument simple (observer qu’on a $c_{\mathbf{p}}V_{\mathbf{p}}\subset \mathbf{Q}c_{\mathbf{p}}$ d’après c) ; si $\mathfrak{a}$ est un idéal à gauche strictement contenu dans $V_{\mathbf{p}}$, démontrer qu’on a $c_{\mathbf{p}}\mathfrak{a}= 0$, d’où $\mathfrak{a}^2= 0$ et finalement $\mathfrak{a}= 0)$.

e) Démontrer qu’on a $c^2_{\mathbf{p}}= (n$!$/[V_{\mathbf{p}}:\mathbf{Q}])c_{\mathbf{p}}$ (calculer la trace de l’endomorphisme $x\rightarrow xc_{\mathbf{p}}$ de A).