Bài tập 23, § 21

Giữ ký hiệu của bài tập trước. Cho $\mathbf{p}= (p_i)$ và $\mathbf{q}= (q_j)$ là hai phần tử của $\mathscr{S}_n$.

a) Giả sử rằng ta có $\mathbf{p}>\mathbf{q}$ đối với thứ tự từ điển. Chứng minh rằng ta có $a_{\mathbf{p}}xb_{\mathbf{q}}= 0$ với mọi $x\in A$. (Rút về trường hợp $x= 1$. Nhận thấy rằng nếu $(P_i),(P'_j)$ ký hiệu các phân hoạch liên kết với $\mathbf{p}$ và $(Q_k),(Q'_l)$ ký hiệu các phân hoạch liên kết với $\mathbf{q}$, thì, ký hiệu bởi $s$ số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $p_n\not=q_n$, ta có Card(P$_s\cap Q'_1$)$\geqslant 2$, và xây dựng một phép hoán vị đổi chỗ $\tau$ sao cho $a_{\mathbf{p}}\tau =a_{\mathbf{p}}$ và $\tau b_{\mathbf{q}}=-b_{\mathbf{q}}.$)

b) Suy ra rằng nếu $\mathbf{p}\not=\mathbf{q}$, thì các A-môđun $V_{\mathbf{p}}$ và $V_{\mathbf{q}}$ không đẳng cấu (áp dụng a), bằng cách dùng phản tự đẳng cấu của A biến $e_{\sigma}$ thành $e_{\sigma^{-1}})$.

c) Chứng minh rằng ánh xạ gửi một dãy $\mathbf{p}$ tới biểu diễn $(V_{\mathbf{p}})_{(K)}$ xác định một song ánh từ $\mathscr{S}_n$ tới tập hợp $\mathscr{S}_K(\mathfrak{S}_n)$ các lớp các $K[\mathfrak{S}_n$]-môđun đơn. d) Với $\mathbf{p}\in \mathscr{S}_n$, ký hiệu bởi $\overline{\mathbf{p}}$ dãy được xác định bởi $\overline{p}_j=$ Card(P$'_j$) (Bài tập 22). Chứng minh rằng ánh xạ $\mathbf{p}\mapsto \overline{\mathbf{p}}$ là một phép đối hợp của $\mathscr{S}_n$; A-môđun $V_{\overline{\mathbf{p}}}$ đẳng cấu với $V_{\mathbf{p}}\otimes_{\mathbf{Q}}\mathbf{Q}_{\varepsilon}$, trong đó $\mathbf{Q}_{\varepsilon}$ ký hiệu biểu diễn một chiều trên $\mathbf{Q}$ liên kết với chữ ký.

e) Mô tả các biểu diễn tương ứng với các dãy $(1, . . . ,1)$ và $(n)$, cũng như với dãy $(n-1,1)$.