Exercice 23, § 21

On conserve les notations de l’exercice précédent. Soient $\mathbf{p} = (p_i)$ et $\mathbf{q} = (q_j)$ deux éléments de $\mathscr{S}_n$.

a) On suppose qu’on a $\mathbf{p}>\mathbf{q}$pour l’ordre lexicographique. Prouver qu’on a $a_{\mathbf{p}}xb_{\mathbf{q}}= 0$ pour tout $x\in A$ (se ramener au cas $x= 1$; si $(P_i),(P'_j)$ désigne les partitions associées à $\mathbf{p}$et $(Q_k),(Q'_l)$ celles associées à $\mathbf{q}$, observer qu’on a Card(P$_s\cap Q'_1$)$\geqslant 2$, et construire une transposition $\tau$ telle que $a_{\mathbf{p}}\tau =a_{\mathbf{p}}$ et $\tau b_{\mathbf{q}}=-b_{\mathbf{q}}$).

b) En déduire que si $\mathbf{p}\not=\mathbf{q}$, les A-modules $V_{\mathbf{p}}$ et $V_{\mathbf{q}}$ ne sont pas isomorphes (appliquer a), en utilisant l’antiautomorphisme de A qui applique $e_{\sigma}$ sur $e_{\sigma^{-1}})$.

c) Démontrer que l’application qui associe à une suite $\mathbf{p}$la représentation $(V_{\mathbf{p}})_{(K)}$ définit une bijection de $\mathscr{S}_n$ sur l’ensemble $\mathscr{S}_K(\mathfrak{S}_n)$ des classes de $K[\mathfrak{S}_n$]-modules simples.

d) Pour $\mathbf{p}\in \mathscr{S}_n$, on note $\mathbf{p}$la suite définie par $\overline{p}_j=$ Card(P$'_j$) (exerc. 22). Prouver que l’application $\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}$est une involution de $\mathscr{S}_n$; le A-module $V_{\overline{\mathbf{p}}}$ est isomorphe à $V_{\mathbf{p}}\otimes_{\mathbf{Q}}\mathbf{Q}_{\varepsilon}$, où $\mathbf{Q}_{\varepsilon}$ désigne la représentation de dimension un sur $\mathbf{Q}$associée à la signature.

e) Décrire les représentations correspondant aux suites $(1, . . . ,1)$ et $(n)$, ainsi qu’à la suite $(n-1,1)$.