Bài tập 24, § 21

Giữ ký hiệu của các Bài tập 21 đến 23. Cho $\mathbf{p}= (p_i)_{1\leqslant i\leqslant d}\in \mathscr{S}_n$; ký hiệu bởi $\mathbf{p}$ phần tử $(p_1, . . . , p_d,0, . . . ,0)$ của $\mathscr{D}_n$. Nếu $\boldsymbol{\alpha }= (\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ là một phần tử của $\mathbf{N}^n$ sao cho $\sum_ii\alpha_i=n$, thì ta ký hiệu bởi $C_{\boldsymbol{\alpha }}$ lớp liên hợp của $\mathfrak{S}_n$ gồm các phần tử là tích của một họ các chu trình có giá rời nhau gồm $\alpha_2$ chu trình cấp $2,\alpha_3$ chu trình cấp 3, v.v.

a) Chứng minh rằng biểu diễn $\rho_{\mathbf{p}}$ của $\mathfrak{S}_n$ trong A-môđun $Aa_{\mathbf{p}}$ là biểu diễn cảm sinh bởi biểu diễn tầm thường của $\mathscr{P}$. Dùng Bài tập 20 để suy ra công thức $\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) = [f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}}$.

b) Với mọi $\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$, ký hiệu bởi $\lambda_{\mathbf{q}}$ biểu diễn của $\mathfrak{S}_n$ trong A-môđun $V_{\mathbf{q}}$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$ sao cho ta có $\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}=\sum_{\mathbf{q}\in\mathscr{S}_n}n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$ với $n_{\mathbf{p}\mathbf{p}}>0$.

c) Cho $\eta_{\mathbf{p}}$ là hàm trung tâm trên $\mathfrak{S}_n$ có giá trị $\omega_{\mathbf{p}}(f^{\boldsymbol{\alpha }})$ trên các phần tử của lớp $C_{\boldsymbol{\alpha }}$. Chứng minh rằng $\eta_{\mathbf{p}}$ là một tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$ đối với $\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$ với các hệ số nguyên (sử dụng Bài tập 21, c) và e)). Suy ra rằng $\eta_{\mathbf{p}}$ bằng, sai khác một dấu, với một trong các đặc trưng $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$. (Tính $\langle \eta_{\mathbf{p}}, \eta_{\mathbf{p}}\rangle$ bằng cách sử dụng Bài tập 21, f).) d) Suy ra đẳng thức $\chi_{\lambda_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) =$ [Δ$f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}'}$ (“công thức Frobenius”).

e) Chứng minh rằng bội số của biểu diễn bất khả quy $\lambda_{\mathbf{p}}$ trong biểu diễn $\rho_{\mathbf{q}}$ bằng $K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$.

f ) Chứng minh rằng bậc của $\lambda_{\mathbf{p}}$ là $\frac{n!}{\mathbf{p}!}$Δ($\mathbf{p}'$) (khai triển đa thức Δ($\mathbf{X}$)$(\sum X_i)^n$).