Exercice 24, § 21

On conserve les notations des exerc. 21 à 23. Soit $\mathbf{p} = (p_i)_{1\leqslant i\leqslant d}\in \mathscr{S}_n$; on notera encore $\mathbf{p}$l’élément $(p_1, . . . , p_d,0, . . . ,0)$ de $\mathscr{D}_n$. Si $\boldsymbol{\alpha }= (\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ est un élément de $\mathbf{N}^n$ tel que $\sum_ii\alpha_i=n$, on note $C_{\boldsymbol{\alpha }}$ la classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_n$ formée des éléments qui sont produit d’une famille de cycles de support disjoints comprenant $\alpha_2$ cycles d’ordre 2, $\alpha_3$ cycles d’ordre 3, etc.

a) Prouver que la représentation $\rho_{\mathbf{p}}$ de $\mathfrak{S}_n$ dans le A-module $Aa_{\mathbf{p}}$ est la représentation induite par la représentation triviale de $\mathscr{P}$. En déduire à l’aide de l’exerc. 20 la formule $\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) = [f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}}$.

b) Pour tout $\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$, on désigne par $\lambda_{\mathbf{q}}$ la représentation de $\mathfrak{S}_n$ dans le A-module $V_{\mathbf{q}}$. Démontrer qu’il existe des entiers positifs $n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$ tels qu’on ait $\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}=\sum_{\mathbf{q}\in\mathscr{S}_n}n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$, avec $n_{\mathbf{p}\mathbf{p}}>0$.

c) Soit $\eta_{\mathbf{p}}$ la fonction centrale sur $\mathfrak{S}_n$ qui vaut $\omega_{\mathbf{p}}(f^{\boldsymbol{\alpha }})$ sur les éléments de la classe $C_{\boldsymbol{\alpha }}$. Prouver que $\eta_{\mathbf{p}}$ est combinaison linéaire à coefficients entiers des caractères $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$, pour $\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$ (utiliser l’exerc. 21 c) et e)). En déduire que $\eta_{\mathbf{p}}$ est égal au signe près à l’un des caractères $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$ (calculer $\langle \eta_{\mathbf{p}}, \eta_{\mathbf{p}}\rangle$ à l’aide de l’exerc. 21 f )).

d) En déduire l’égalité $\chi_{\lambda_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) = [\Delta f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}'}$ (« formule de Frobenius »).

e) Démontrer que la multiplicité de la représentation irréductible $\lambda_{\mathbf{p}}$ dans la représentation $\rho_{\mathbf{q}}$ est égale à $K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$.

f ) Prouver que le degré de $\lambda_{\mathbf{p}}$ est $\frac{n!}{\mathbf{p}!}\Delta (\mathbf{p}')$ (développer le polynôme $\Delta (\mathbf{X})(\sum X_i)^n$).