Bài tập 26, § 21

Cho $q$ là một lũy thừa của một số nguyên tố và F là một trường hữu hạn có $q$ phần tử; đặt G là nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}(2,F)$.

a) Mô tả các lớp liên hợp của G (phân biệt bốn kiểu lớp, lần lượt chứa $1,q^2-1,q^2+q$, và $q^2-q$ phần tử).

b) Nhóm G tác động trên đường thẳng xạ ảnh P trên F; xét biểu diễn $\pi_P$ của G (Bài tập 6). Với mọi đồng cấu nhóm $\lambda : F^*\rightarrow K^*$, ký hiệu bởi $\delta_{\lambda}$ biểu diễn bậc 1 liên kết với đồng cấu $\lambda \circ$ det từ G đến $K^*$, và đặt $\pi_{\lambda}=\pi_P\otimes \delta_{\lambda}$. Chứng minh rằng $\pi_{\lambda}$ là bất khả quy, và tính đặc trưng của nó.

c) Cho B là nhóm con của G gồm các ma trận tam giác trên. Với $\lambda , \mu$ trong Hom(F$^*,K^*$), ký hiệu bởi $\beta_{\lambda ,\mu}$ biểu diễn của B bậc 1 được xác định bởi $\beta_{\lambda ,\mu}((a_{ij})) =\lambda (a_{11})\mu(a_{22})$, và đặt $\pi_{\lambda ,\mu}=$ Ind$^G_B(\beta_{\lambda ,\mu})$. Chứng minh rằng $\pi_{\lambda ,\mu}$ là bất khả quy đối với $\lambda \not=\mu$, còn $\pi_{\lambda ,\lambda}$ đẳng cấu với $\pi_P\oplus \delta_{\lambda}$ (áp dụng Bài tập 8). Các biểu diễn $\pi_{\lambda ,\mu}$ và $\pi_{\lambda',\mu'}$ là đẳng cấu khi và chỉ khi các tập hợp $\{\lambda , \mu\}$ và $\{\lambda ', \mu'\}$ của Hom(F$^*,K^*$) bằng nhau.

d) Cho $F'$ là một mở rộng của F có bậc 2; việc chọn một cơ sở của $F'$ trên F cho phép đồng nhất $F^{'*}$ với một nhóm con của G = Aut$_F(F')$. Cho $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$); tính Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$, và chứng minh rằng nó bằng Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi^q)$. Ký hiệu $\lambda$ là hạn chế của $\varphi$ lên $F^*$, và đặt $\chi_{\varphi}=\chi_{\pi_P\otimes\pi_{\lambda ,1}}-\chi_{\pi_{\lambda ,1}}-$ Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$. Chứng minh rằng nếu $\varphi \not=\varphi^q$, thì ta có $\langle \chi_{\varphi}, \chi_{\varphi}\rangle = 1$ và $\chi_{\varphi}(1) =q-1$, sao cho $\chi_{\varphi}$ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy $\pi_{\varphi}$ có chiều $q-1$. Chứng minh rằng do đó ta thu được $^1_2q(q-1)$ biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu. e) Chứng minh rằng các biểu diễn bất khả quy $\pi_{\lambda}$ với $\lambda \in$ Hom(F$^*,K^*$)$,\pi_{\lambda ,\mu}$ với một tập con $\{\lambda , \mu\}$ của Hom(F$^*,K^*$) có hai phần tử, và $\pi_{\varphi}$ với $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$) sao cho $\varphi \not=\varphi^q$ là đôi một không đẳng cấu và mọi biểu diễn bất khả quy của G đều đẳng cấu với một trong chúng.