Exercice 26, § 21

Soient $q$ une puissance d’un nombre premier, et F un corps fini à $q$ éléments ; on prend pour G le groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}(2,F)$.

a) Décrire les classes de conjugaison de G (on distinguera quatre types de classes, contenant respectivement $1,q^2-1,q^2+q$ et $q^2-q$ éléments).

b) Le groupe G opère sur la droite projective P sur F ; on considère la représentation $\pi_P$ de G (exerc. 6). Pour chaque homomorphisme de groupes $\lambda : F^*\rightarrow K^*$, on note $\delta_{\lambda}$ la représentation de degré 1 associée à l’homomorphisme $\lambda \circ$ det de G dans $K^*$, et l’on pose $\pi_{\lambda}=\pi_P\otimes \delta_{\lambda}$. Prouver que $\pi_{\lambda}$ est irréductible et calculer son caractère.

c) Soit B le sous-groupe de G formé des matrices triangulaires supérieures. Pour $\lambda , \mu$ dans Hom(F$^*,K^*$), on note $\beta_{\lambda ,\mu}$ la représentation de degré 1 de B définie par $\beta_{\lambda ,\mu}((a_{ij})) =$ $\lambda (a_{11})\mu (a_{22})$, et l’on pose $\pi_{\lambda ,\mu}=$ Ind$^G_B(\beta_{\lambda ,\mu})$. Prouver que $\pi_{\lambda ,\mu}$ est irréductible pour $\lambda \not=\mu$, tandis que $\pi_{\lambda ,\lambda}$ est isomorphe à $\pi_P\oplus \delta_{\lambda}$ (on peut appliquer l’exerc. 8). Pour que $\pi_{\lambda ,\mu}$ et $\pi_{\lambda',\mu'}$ soient isomorphes, il faut et il suffit que les sous-ensembles $\{\lambda , \mu \}$ et $\{\lambda ', \mu '\}$ de Hom(F$^*,K^*$) soient égaux.

d) Soit $F'$ une extension de degré 2 de F ; le choix d’une base de $F'$ sur F permet d’identifier $F^{'*}$ à un sous-groupe de G = Aut$_F(F')$. Soit $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$); calculer Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$ et démontrer qu’il est égal à Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi^q)$. On note $\lambda$ la restriction de $\varphi$ à $F^*$, et on pose $\chi_{\varphi}=\chi_{\pi_P\otimes\pi_{\lambda ,1}}-\chi_{\pi_{\lambda ,1}}-$ Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$. Si $\varphi \not=\varphi^q$, démontrer qu’on a $\langle \chi_{\varphi}, \chi_{\varphi}\rangle = 1$ et $\chi_{\varphi}(1) =q-1$, de sorte que $\chi_{\varphi}$ est le caractère d’une représentation irréductible $\pi_{\varphi}$ de dimension $q-1$, et que l’on obtient ainsi $\frac{1}{2}q(q-1)$ représentations irréductibles non isomorphes.

e) Prouver que les représentations irréductibles $\pi_{\lambda}$ pour $\lambda \in$ Hom(F$^*,K^*$)$,\pi_{\lambda ,\mu}$ pour $\{\lambda , \mu \}$ sous-ensemble à deux éléments de Hom(F$^*,K^*$) et $\pi_{\varphi}$ pour $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$), $\varphi \not=\varphi^q$, sont deux à deux non isomorphes, et que toute représentation irréductible de G est isomorphe à l’une d’entre elles.