Bài tập 29, § 21

Giữ các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 27 và 28. Chọn một nghiệm nguyên thủy bậc $m$ của đơn vị $\zeta$. Gọi $\mathscr{O}_m$ là vành $\mathbf{Z}[X]/(\Phi_m)$ (VIII, p. 415); ta ký hiệu lớp của X trong $\mathscr{O}_m$ bởi $x$. Gọi $\varphi :\mathscr{O}_m\rightarrow F$ là đồng cấu gửi $x$ tới $\zeta$. Nó cảm sinh một đẳng cấu từ nhóm con của $\mathscr{O}_m$ sinh bởi $x$ lên nhóm $\mu_m(F)$; ta ký hiệu đẳng cấu nghịch đảo bởi $\tau$.

a) Cho $\pi$ là một biểu diễn tuyến tính của G trên F, có số chiều hữu hạn $d$. Với $g\in G$, gọi $P_g(X) =\prod^d_{i=1}(X-\lambda_i)$ là đa thức đặc trưng của $\pi (g)$; ký hiệu bởi $\beta_{\pi}(g)$ phần tử $\sum_i\tau (\lambda_i)$ của $\mathscr{O}_m$. Hàm thu được $\beta_{\pi}: G\rightarrow \mathscr{O}_m$ được gọi là đặc trưng Brauer của $\pi$; ta có $\varphi \circ \beta_{\pi}=\chi_{\pi}$ và $\beta_{\pi}(x) =\beta_{\pi}(x_s)$ với mọi $x$, vì vậy $\beta_{\pi}$ được xác định bởi hạn chế của nó lên $G^{reg}$.

b) Cho $\widehat{G}$ là tập hợp các lớp đẳng cấu của các F[G]-môđun đơn. Chứng minh rằng các hàm $(\beta_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Z}$. (Nếu tồn tại một quan hệ không tầm thường $\sum n_{\lambda}\beta_{\lambda}= 0$, thì ta có thể giả sử rằng một trong các $n_{\lambda}$ nguyên tố cùng nhau với $p$ và áp dụng $\varphi$ để đi đến một mâu thuẫn bằng cách sử dụng Bài tập 27, f).)

c) Cho $\mathscr{B}$ là tập hợp các hàm từ $G^{reg}$ đến $\mathscr{O}_m$; đồng cấu $R_F(G)\rightarrow \mathscr{B}$ gửi lớp của $\pi$ tới $\beta_{\pi}$ là đơn ánh. Suy ra rằng hai F[G]-môđun nửa đơn đẳng cấu khi và chỉ khi các đặc số Brauer của chúng bằng nhau.