Exercice 29, § 21

On conserve les hypothèses et notations des exerc. 27 et 28. On choisit une racine primitive $m$-ème de l’unité $\zeta$. Soit $\mathscr{O}_m$ l’anneau $\mathbf{Z}[X]/(\Phi_m)$ (VIII, p. 405) ; on note $x$ la classe de X dans $\mathscr{O}_m$. Soit $\varphi :\mathscr{O}_m\rightarrow F$ l’homomorphisme qui applique $x$ sur $\zeta$. Il induit un isomorphisme du sous-groupe engendré par $x$ dans $\mathscr{O}_m$ sur le groupe $\mu_m(F)$; on note $\tau$ l’isomorphisme réciproque.

a) Soit $\pi$ une représentation linéaire de G sur F, de dimension finie $d$. Pour $g\in G$, soit $P_g(X) =\prod^d_{i=1}(X-\lambda_i)$ le polynôme caractéristique de $\pi (g)$; on note $\beta_{\pi}(g)$ l’élément $\sum_i\tau (\lambda_i)$ de $\mathscr{O}_m$. La fonction $\beta_{\pi}: G\rightarrow \mathscr{O}_m$ ainsi définie est appelée caractère de Brauer de $\pi$; on a $\varphi \circ \beta_{\pi}=\chi_{\pi}$ et $\beta_{\pi}(x) =\beta_{\pi}(x_s)$ pour tout $x$, de sorte que $\beta_{\pi}$ est déterminé par sa restriction à $G^{reg}$.

b) Soit $\widehat{G}$ l’ensemble des classes d’isomorphisme de F[G]-modules simples ; prouver que les fonctions $(\sum\beta_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ sont linéairement indépendantes sur $\mathbf{Z}$(s’il existe une relation

$n_{\lambda}\beta_{\lambda}= 0$ non triviale, on peut supposer qu’un des $n_{\lambda}$ est étranger à $p$ et appliquer $\varphi$ pour aboutir à une contradiction avec l’exerc. 27 f )).

c) Soit $\mathscr{B}$ l’ensemble des fonctions de $G^{reg}$ dans $\mathscr{O}_m$; l’homomorphisme $R_F(G)\rightarrow \mathscr{B}$ qui applique la classe de $\pi$ sur $\beta_{\pi}$ est injective. En déduire que pour que deux F[G]-modules semi-simples soient isomorphes, il faut et il suffit que leurs caractères de Brauer soient égaux.