Bài tập 30, § 21

Cho F là một trường đóng đại số có đặc số $p >0$, cho $\mathbf{F}_p$ là trường con nguyên tố của F, và cho $G =\mathbf{S}\mathbf{L}_2(\mathbf{F}_p)$. Ký hiệu V là không gian vectơ F $F\otimes_{\mathbf{F}_p}\mathbf{F}^2_p$ được trang bị tác động của G suy ra từ tác động trên $\mathbf{F}^2_p$.

a) Chứng minh rằng F[G]-môđun $\mathsf{S}^d(V)$ là đơn với $0\leqslant d < p$. (Cho W là một F[G]-môđun con khác không của $\mathsf{S}^d$(V), và cho $(e, f)$ là một cơ sở của V. Chứng minh rằng $e^d$ thuộc W bằng cách sử dụng ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, rồi chứng minh rằng W bằng $\mathsf{S}^d(V)$ bằng cách sử dụng ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.) b) Chứng minh rằng F[G]-môđun $\mathsf{S}^p(V)$ không đơn (xét ảnh của V bởi ánh xạ $v\mapsto v^p$).

c) Với $p\geqslant 7$, chứng minh rằng chiều của $\mathsf{S}^{p-3}(V)$ không chia hết cho cấp của G. d) Chứng minh rằng mọi F[G]-môđun đơn đều đẳng cấu với một trong các môđun $\mathsf{S}^d(V)$ với $0\leqslant d < p$ (sử dụng Bài tập 27, f)).