Exercice 30, § 21

Soient F un corps algébriquement clos de caractéristique $p >0,\mathbf{F}_p$ le sous-corps premier de F et $G =\mathbf{S}\mathbf{L}_2(\mathbf{F}_p)$. On note V le F-espace vectoriel $F\otimes_{\mathbf{F}_p}\mathbf{F}^2_p$, muni de l’action de G déduite de l’action sur $\mathbf{F}^2_p$.

a) Prouver que le F[G]-module $\mathsf{S}^d(V)$ est simple pour $0\leqslant d < p$ (soit W un sousF[G]-module non nul de $\mathsf{S}^d$(V), et soit $(e, f)$ une base de V ; prouver que $e^d$ appartient à W en utilisant la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, puis que W est égal à $\mathsf{S}^d(V)$ en utilisant la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$).

b) Démontrer que le F[G]-module $\mathsf{S}^p(V)$ n’est pas simple (considérer l’image de V par l’application $v\rightarrow v^p$).

c) Pour $p\geqslant 7$ démontrer que la dimension de $\mathsf{S}^{p-3}(V)$ ne divise pas l’ordre de G.

d) Démontrer que tout F[G]-module simple est isomorphe à l’un des modules $\mathsf{S}^d(V)$ pour $0\leqslant d < p$ (utiliser l’exerc. 27 f )).