Bài tập 6, § 21

Cho X là một tập hợp hữu hạn trên đó G tác động. Xét biểu diễn $\pi$ của G trong $K^X$ sao cho $\pi (g)e_x=e_{gx}$ với $g\in G,x\in X$ (“biểu diễn hoán vị” liên kết với X). a) Với $g\in G$, chứng minh rằng $\chi_{\pi}(g)$ bằng số điểm của X được cố định bởi $g$. b) Chứng minh rằng bội số của biểu diễn đơn vị trong $\pi$ bằng số quỹ đạo của G trong X. c) Từ bây giờ giả sử rằng tác động của G là bắc cầu; cố định một điểm $x$ của X, và ký hiệu bởi H nhóm ổn định của nó. Chứng minh rằng $\pi$ đẳng cấu với biểu diễn cảm sinh bởi biểu diễn đơn vị của H và rằng $\langle \chi_{\pi}, \chi_{\pi}\rangle$ bằng số quỹ đạo của H trong X. d) Gọi V là không gian con của $K^X$ gồm các vectơ mà tổng các tọa độ bằng không; nó ổn định dưới G, và ký hiệu bởi $\pi_X$ biểu diễn của G trong V suy ra từ $\pi$. Chứng minh rằng $\pi_X$ là bất khả quy khi và chỉ khi tác động của G là bắc cầu đôi (I, §5, p. 143, Bài tập 14).