Exercice 6, § 21

Soit X un ensemble fini sur lequel G opère. On considère la représentation $\pi$ de G dans $K^X$ telle que $\pi (g)e_x=e_{gx}$ pour $g\in G,x\in X$ (« représentation de permutation » associée à X).

a) Pour $g\in G$, prouver que $\chi_{\pi}(g)$ est égal au nombre de points de X fixés par $g$.

b) Démontrer que la multiplicité de la représentation unité dans $\pi$ est égale au nombre d’orbites de G dans X.

c) On suppose désormais que l’action de G est transitive ; on fixe un point $x$ de X, et on dénote par H son stabilisateur. Prouver que $\pi$ est isomorphe à la représentation induite par la représentation unité de H, et que $\langle \chi_{\pi}, \chi_{\pi}\rangle$ est égal au nombre d’orbites de H dans X.

d) Soit V le sous-espace de $K^X$ formé des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle ; il est stable par G, et l’on désigne par $\pi_X$ la représentation de G dans V déduite de $\pi$. Prouver que pour que $\pi_X$ soit irréductible, il faut et il suffit que l’action de G soit deux fois transitive (I, p. 131, exerc. 14).