Bài tập 8, § 4

Cho A là một vành Noether trái.

a) Cho $x$ là một phần tử khác không của A. Chứng minh rằng linh hóa tử trái Ann $x$ của $x$ không cốt yếu (trong số các phần tử không có tính chất này, hãy lấy một $x$ sao cho Ann $x$ là cực đại, và xét $Ax\cap$ Ann $x$).

b) Cho $x$ là một phần tử giản ước được phải của A. Chứng minh rằng iđêan $Ax$ là cốt yếu (nếu $\mathfrak{a}$ là một iđêan của A sao cho $\mathfrak{a}\cap Ax= 0$, hãy xét iđêan $\mathfrak{a}+\mathfrak{a}x+\mathfrak{a}x^2+. . .$).

c) Suy ra từ a) và b) rằng mọi phần tử giản ước được phải của A đều là giản ước được. d) Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái cốt yếu của A chứa một phần tử không lũy linh. Chứng minh rằng $\mathfrak{a}$ chứa một phần tử giản ước được (hãy lấy $(x_1, . . . , x_n)$ là một dãy gồm các phần tử khác không của $\mathfrak{a}$ thỏa mãn Ann $x^2_i=$ Ann $x_i$ và $x_{i+1}\in$ Ann $x_i\cap \cdots \cap$ Ann $x_1$ với mọi $i\geqslant 1$; nhận thấy rằng $\mathfrak{a}$ chứa tổng trực tiếp của các $Ax_i$. Suy ra rằng tồn tại một dãy như thế với $\bigcap_i$ Ann $x_i= 0$; chứng minh rằng khi đó phần tử $\sum x^2_i$ là giản ước được phải, và dùng c)).