Exercice 8, § 4

Soit A un anneau noethérien à gauche.

a) Soit $x$ un élément non nul de A. Prouver que l’annulateur à gauche Ann $x$ de $x$ n’est pas essentiel (considérer parmi les éléments ne possédant pas cette propriété un élément $x$ tel que Ann $x$ soit maximal, et considérer $Ax\cap$ Ann $x$).

b) Soit $x$ un élément de A simplifiable à droite. Prouver que l’idéal $Ax$ est essentiel (si $\mathfrak{a}$ est un idéal de A tel que $\mathfrak{a}\cap Ax= 0$, considérer l’idéal $\mathfrak{a}+\mathfrak{a}x+\mathfrak{a}x^2+. . .$).

c) Déduire de a) et b) que tout élément de A simplifiable à droite est simplifiable.

d) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche essentiel de A, contenant un élément non nilpotent. Démontrer que $\mathfrak{a}$ contient un élément simplifiable (soit $(x_1, . . . , x_n)$ une suite d’éléments non nuls de $\mathfrak{a}$ satisfaisant à Ann $x^2_i=$ Ann$x_i$ et $x_{i+1}\in$ Ann $x_i\cap \cdots \cap$Ann $x_1$ pour tout $i\geqslant 1$; observer que $\mathfrak{a}$ contient la somme directe des $Ax_i$. En déduire qu’on peut trouver une telle suite avec $\bigcap_i$ Ann $x_i= 0$; prouver que l’élément $\sum x^2_i$ est alors simplifiable à droite, et utiliser c)).