Bài tập 12, § 5

Cho A là một vành, và cho P là một A-môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) A-môđun P là xạ ảnh và sinh.

(ii) Các A-môđun $P^{(\mathbf{N})}$ và $A^{(\mathbf{N})}_s$ đẳng cấu.

(Để thiết lập kéo theo (i)$\Rightarrow$(ii), dùng quy nạp để xây dựng các dãy tăng ngặt $(n_k)$ và $(m_k)$ gồm các số nguyên và các đồng cấu toàn ánh của A-môđun $f_k: A^{n_k}_s\rightarrow P^{m_k}$ và $g_k: P^{m_{k+1}}\rightarrow A^{n_k}_s$ sao cho $g_{k-1}\circ f_k$ và $f_k\circ g_k$ là các phép chiếu chính tắc.)