Exercice 12, § 5

Soient A un anneau et P un A-module de type fini. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le A-module P est projectif et générateur ;

(ii) Les A-modules $P^{(\mathbf{N})}$ et $A^{(\mathbf{N})}_s$ sont isomorphes.

(Pour établir l’implication (i)$\Rightarrow$(ii) on pourra construire par récurrence des suites strictement croissantes $(n_k)$ et $(m_k)$ d’entiers et des homomorphismes de A-modules surjectifs $f_k: A^{n_k}_s\rightarrow P^{m_k},g_k: P^{m_{k+1}}\rightarrow A^{n_k}_s$ tels que $g_{k-1}\circ f_k$ et $f_k\circ g_k$ soient les projections canoniques).