Bài tập 19, § 5

Cho A là một vành sao cho A-môđun $A_s$ là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các iđêan trái $(\mathfrak{I}_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ đẳng cấu như các A-môđun.

a) Chứng minh rằng trong A tồn tại một họ các phần tử $e_{i,j}(1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n)$ sao cho $e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$, trong đó $\delta_{j,h}$ ký hiệu hàm delta Kronecker, và $\mathfrak{I}_i= Ae_{i,i}$ (xem VIII, p. 39, Bài tập 5 và I, §8, p. 173, Bài tập 12). Ngược lại, nếu trong A tồn tại một họ gồm $n^2$ phần tử $e_{i,j}$ sao cho $e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$ và $1 =\sum^n_{i=1}e_{i,i}$, thì các iđêan trái $Ae_{i,i}$ là đẳng cấu như các A-môđun (xem VIII, p. 39, Bài tập 5). Hơn nữa, nếu B là vành con của A gồm các phần tử giao hoán với mọi $e_{i,j}$, thì A đẳng cấu với vành ma trận $\mathbf{M}_n(B)$ và B đẳng cấu với vành đối của hoán tập của mỗi A-môđun $Ae_{i,i}$ (dùng VIII, p. 78 và VIII, p. 65, Hệ quả).

b) Cho M là một A-môđun. Chứng minh rằng các $N_i=e_{i,i}M$ là các B-môđun và rằng M, được xem như một B-môđun, là tổng trực tiếp của các $N_i$; hơn nữa, các B-môđun $N_i$ đẳng cấu từng đôi một (xét các ánh xạ $x\mapsto e_{i,1}x$ và $y\mapsto e_{1,i}y$), và linh hóa tử của các $N_i$ là giao của B và linh hóa tử của M trong A. Ngược lại, với mọi B-môđun N, định nghĩa một cấu trúc A-môđun trên tổng trực tiếp M của $n$ B-môđun đẳng cấu với N, sao cho $e_{1,1}M$ đẳng cấu với N.

c) Với mỗi B-môđun con P của $N_1$, gán cho nó A-môđun con $\sum^n_{i=1}e_{i,1}P$ của M. Chứng minh rằng điều này xác định một ánh xạ song ánh từ tập hợp các B-môđun con của $N_1$ đến tập hợp các A-môđun con của M tăng ngặt theo quan hệ bao hàm.