Exercice 19, § 5

Soit A un anneau, tel que le A-module $A_s$ soit somme directe d’une famille finie d’idéaux à gauche $(\mathfrak{I}_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ isomorphes en tant que A-modules.

a) Démontrer qu’il existe dans A une famille d’éléments $e_{i,j}(1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n)$ tels que $e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$, où $\delta_{j,h}$ désigne l’indice de Kronecker, et $\mathfrak{I}_i= Ae_{i,i}($cf. VIII, p. 36, exerc. 5 et I, p. 152, exerc. 12). Réciproquement, s’il existe dans A une famille de $n^2$ éléments $e_{i,j}$ tels que $e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$ et $1 =\sum^n_{i=1}e_{i,i}$, les idéaux à gauche $Ae_{i,i}$ sont isomorphes en tant que A-modules (cf. VIII, p. 36, exerc. 5). En outre, si B est le sous-anneau de A formé des éléments qui commutent avec tous les $e_{i,j}, A$ est isomorphe à l’anneau de matrices $\mathbf{M}_n(B)$ et B est isomorphe à l’opposé du commutant de chacun des A-modules $Ae_{i,i}$ (utiliser VIII, p. 74 et VIII, p. 60, cor.).

b) Soit M un A-module. Démontrer que les $N_i=e_{i,i}M$ sont des B-modules et que M, considéré comme B-module, est somme directe des $N_i$; en outre, les B-modules $N_i$ sont deux à deux isomorphes (considérer les applications $x\rightarrow e_{i,1}x$ et $y\rightarrow e_{1,i}y$) et l’annulateur des $N_i$ est l’intersection de B et de l’annulateur de M dans A. Réciproquement, pour tout B-module N, définir une structure de A-module sur la somme directe M de $n$ B-modules isomorphes à N, de sorte que $e_{1,1}M$ soit isomorphe à N.

c) À tout sous-B-module P de $N_1$, on fait correspondre le sous-A-module $\sum^n_{i=1}e_{i,1}P$ de M. Démontrer qu’on définit ainsi une application bijective de l’ensemble des sous-B-modules de $N_1$ sur l’ensemble des sous-A-modules de M, strictement croissante pour la relation d’inclusion.