Bài tập 7, § 6

Giữ các giả thiết trước. Giả sử thêm rằng đã cho

– một A-môđun G(N) với mỗi B-môđun N,

– một đồng cấu A-tuyến tính $G(v) : G(N)\rightarrow G(N')$ với mỗi đồng cấu của các B-môđun $v: N\rightarrow N'$,

– một đẳng cấu $\alpha_M: M\rightarrow G(F(M))$ với mỗi A-môđun M, và

– một đẳng cấu $\beta_N: N\rightarrow F(G(N))$ với mỗi B-môđun N.

Giả sử rằng phép dựng G có các tính chất tương tự như (i) đến (iii) ở trên, rằng với mọi đồng cấu A-môđun $u: M\rightarrow M'$, ta có $G(F(u))\circ \alpha_M=$ $\alpha_{M'}\circ u$, và rằng với mọi đồng cấu B-môđun $v: N\rightarrow N'$, ta có $F(G(v))\circ \beta_N=\beta_{N'}\circ v$.

a) Cho M và $M'$ là các A-môđun; hãy chứng minh rằng đồng cấu $u\mapsto F(u)$ là một đẳng cấu từ Hom$_A(M,M')$ đến Hom$_B(F(M),F(M'))$.

b) Cho $f\in$ Hom$_A(M,M')$; khi đó $F(f)$ là đơn ánh (tương ứng, toàn ánh) khi và chỉ khi f là như vậy (lưu ý rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi A-môđun E và mọi đồng cấu khác không $g: E\rightarrow M$, ta có $f\circ g\not= 0$).

c) Cho $0\rightarrow M'\rightarrow^iM\rightarrow^pM''\rightarrow 0$ là một dãy khớp các A-môđun; hãy chứng minh rằng dãy $0\rightarrow F(M')\overset{F(i)}{\rightarrow}F(M)\overset{F(p)}{\rightarrow}F(M'')\rightarrow 0$ là khớp.

d) Cho $(M_{\alpha})_{\alpha\in I}$ là một họ các A-môđun, và cho M là tổng trực tiếp của họ đó. Hãy xây dựng một đẳng cấu chính tắc từ $\oplus F(M_{\alpha})$ đến F(M).

e) Cho M là một A-môđun. Hãy chứng minh rằng F(M) là xạ ảnh (tương ứng, sinh, tương ứng, sinh hữu hạn) khi và chỉ khi M là như vậy (dùng Bài tập 9 của VIII, p. 92).

f ) Hãy chứng minh rằng song môđun $(B$, A)- $F(A_s)$ là khả nghịch và rằng song môđun $(A$, B)- $G(B_s)$ là một nghịch đảo.

g) Hãy chứng minh rằng với mọi A-môđun M, đồng cấu $\theta_M: F(A_s)\otimes_AM\rightarrow F(M)$ được xác định trong Bài tập 5, b) là song ánh (dùng c) và d) bằng cách xét một dãy khớp $A^{(J)}\rightarrow A^{(I)}\rightarrow M\rightarrow 0)$.