Exercice 7, § 6

On conserve les hypothèses précédentes. On suppose en outre donnés :

– pour tout B-module N, un A-module G(N) ;

– pour tout homomorphisme de B-modules $v: N\rightarrow N'$, un homomorphisme A-linéaire $G(v) : G(N)\rightarrow G(N')$;

– pour tout A-module M, un isomorphisme $\alpha_M: M\rightarrow G(F(M))$;

– pour tout B-module N, un isomorphisme $\beta_N: N\rightarrow F(G(N))$.

On suppose que la construction G vérifie l’analogue des propriétés (i) à (iii) ci-dessus, que pour tout homomorphisme de A-modules $u: M\rightarrow M'$ on a $G(F(u))\circ \alpha_M=\alpha_{M'}\circ u$, et que pour tout homomorphisme de B-modules $v: N\rightarrow N'$ on a $F(G(v))\circ \beta_N=\beta_{N'}\circ v$.

a) Soient $M,M'$ des A-modules ; prouver que l’homomorphisme $u\rightarrow F(u)$ est un isomorphisme de Hom$_A(M,M')$ sur Hom$_B(F(M),F(M'))$.

b) Soit $f\in$ Hom$_A(M,M')$; pour que $F(f)$ soit injectif (resp. surjectif), il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $f$ (observer que $f$ est injectif si et seulement si pour tout A-module E et tout homomorphisme non nul $g: E\rightarrow M$, on a $f\circ g\not= 0$).

c) Soit $0\rightarrow M'\rightarrow^iM\rightarrow^pM''\rightarrow 0$ une suite exacte de A-modules ; prouver que la suite $0\rightarrow F(M')\overset{F(i)}{\rightarrow}F(M)\overset{F(p)}{\rightarrow}F(M'')\rightarrow 0$ est exacte.

d) Soit $(M_{\alpha})_{\alpha\in I}$ une famille de A-modules, et soit M sa somme directe. Construire un isomorphisme canonique de $\oplus F(M_{\alpha})$ sur F(M).

e) Soit M un A-module. Montrer que F(M) est projectif (resp. générateur, resp. de type fini) si et seulement si M l’est (utiliser l’exercice 9 de VIII, p. 87).

f ) Démontrer que le $(B$,A)-bimodule $F(A_s)$ est inversible, et que le $(A$, B)-bimodule $G(B_s)$ en est un inverse.

g) Prouver que pour tout A-module M l’homomorphisme $\theta_M: F(A_s)\otimes_AM\rightarrow F(M)$ défini dans l’exerc. 5 b) est bijectif (utiliser c) et d), en considérant une suite exacte $A^{(J)}\rightarrow A^{(I)}\rightarrow M\rightarrow 0)$.