Bài tập 12, § 7

Cho A là một vành và $d$ là một đạo hàm của A. Ký hiệu vành $A[D]_{1,d}$ (VIII, p. 11) đơn giản là A[D]. Mỗi phần tử $P\not= 0$ của A[D] có thể được viết duy nhất dưới dạng $\sum^m_{k=0}a_kD^k$ với $a_k\in A$ và $a_m\not= 0$; ta gọi $m$ là bậc của P và $a_m$ là hệ số đầu của nó.

a) Cho $\mathfrak{b}$ là một iđêan hai phía của A[D], và cho $n$ là số nhỏ nhất trong các bậc của các phần tử khác không của $\mathfrak{b}$. Chứng minh rằng tập gồm 0 và các hệ số đầu của các phần tử của $\mathfrak{b}$ có bậc $n$ là một iđêan hai phía của A.

b) Giả sử rằng vành A là tựa đơn, rằng A là một $\mathbf{Q}$-đại số, và rằng đạo hàm $d$ không phải là một đạo hàm nội (III, §10, No. 6, p. 560). Chứng minh rằng vành A[D] là tựa đơn.

c) Giả sử A là một trường giao hoán đặc số không và $d\not= 0$. Chứng minh rằng mọi iđêan (trái hoặc phải) của A[D] đều đơn sinh (xét một phần tử có bậc cực tiểu trong một iđêan như vậy). Suy ra rằng A[D] là Noether trái và phải, tựa đơn, và không có ước của không nhưng không chứa bất kỳ iđêan phải hoặc trái cực tiểu nào.