Exercice 12, § 7

Soient A un anneau et $d$ une dérivation de A. On notera simplement A[D] l’anneau $A[D]_{1,d}$ (VIII, p. 10). Tout élément $P\not= 0$ de A[D] s’écrit d’une seule manière $\sum^m_{k=0}a_kD^k$, avec $a_k\in A$ et $a_m\not= 0$; on dit que $m$ est le degré de P et $a_m$ son coefficient dominant.

a) Soit $\mathfrak{b}$ un idéal bilatère de A[D] et soit $n$ le minimum des degrés des éléments non nuls de $\mathfrak{b}$. Démontrer que l’ensemble formé de 0 et des coefficients dominants des éléments de $\mathfrak{b}$ de degré $n$ est un idéal bilatère de A.

b) On suppose que l’anneau A est quasi-simple, que A est une $\mathbf{Q}$-algèbre, et que la dérivation $d$ n’est pas intérieure (III, p. 125). Prouver que l’anneau A[D] est quasi-simple.

c) On suppose que A est un corps commutatif de caractéristique nulle et que $d\not= 0$. Démontrer que tout idéal (à gauche ou à droite) de A[D] est monogène (considérer dans un tel idéal un élément de degré minimum). En déduire que A[D] est noethérien à gauche et à droite, quasi-simple, sans diviseur de 0, mais ne contient pas d’idéaux minimaux à gauche ou à droite.