Bài tập 12, Phụ lục 0

Với mọi số nguyên $n > 0$, cho $n = \sum_{k=0}^{\infty} \varepsilon_k 2^k$ là khai triển dyadic của $n$ ($\varepsilon_k$ là một số nguyên, bằng không với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn, $0 \leq \varepsilon_k \leq 1$). Đặt

a) Chứng minh công thức $A_1(n) = \sum_{k=0}^{\infty} (k+2) \varepsilon_k 2^{k-1}$. Suy ra công thức

khi $n$ tăng vô hạn (phân tích tổng biểu diễn $A_1(n)$ thành hai phần, chỉ số $k$ biến thiên từ 0 đến $\mu(n)$ trong tổng thứ nhất, từ $\mu(n)$ đến $n_1$ trong tổng thứ hai, trong đó $n_1$ là lớn nhất trong các số $k$ sao cho $\varepsilon_k \neq 0$ và $\mu(n)$ được chọn thích hợp; chặn tổng thứ nhất bằng cách dùng mệnh đề 6 của V, p. 239, rồi ước lượng hiệu giữa tổng thứ hai và $n_1 n/2$.

b) Thiết lập quan hệ

trong đó $f$ là một hàm tùy ý xác định trên $\mathbf{N}$ (với một $k$ đã cho, xét số các $j < 2^m$ sao cho $\alpha(j) = k$).

c) Với $m = 2^r - 1$, chứng minh rằng $\alpha(m - j) + \alpha(j) = r$. Suy ra từ điều này và từ b) rằng

d) Với $m = 2^r$, chứng minh rằng

trong đó ta đã đặt $\alpha(n+1) - \alpha(n) = 1 - \Delta(n+1)$ với mọi $n$ (dùng $b$) và quan hệ $\alpha(2^k + r) = \alpha(r) + 1$ với $r < 2^k$). Chứng minh rằng $\sum_{j=0}^{m-1} \binom{m-1}{j} \Delta(j+1) \leq r^{m-2}$ (nhận xét rằng $\Delta(j+1) = 0$ nếu $j$ là số chẵn, và $\Delta(j+1) \leq \log j / \log 2$ với mọi $j$). Suy ra, với sự trợ giúp của c), rằng Kết luận từ c) và quan hệ này rằng $A_2(n)$ không tương đương với bất kỳ hàm (H) nào khi $n$ tiến tới $+\infty$.