Bài tập 8, § 3

Cho $G$ là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều và $M$ là một đa tạp liên thông hữu hạn chiều thuộc lớp $C^\infty$; giả sử đã cho một luật phép toán phải thuộc lớp $C^\infty$ của $G$ trên $M$. Với mọi $x \in M$, ký hiệu $\rho(x)$ là ánh xạ quỹ đạo tương ứng.

(a) Để $G$ tác động bắc cầu trên $M$, điều kiện cần và đủ là, với mọi $x \in M$, ánh xạ $T_e(\rho(x))$ từ $L(G)$ vào $T_x(M)$ là toàn ánh. (Để thấy điều kiện này là đủ, hãy nhận thấy rằng khi đó mọi quỹ đạo của $G$ trong $M$ đều mở.)

(b) Giả sử rằng $G$ tác động bắc cầu trên $M$. Ta đồng nhất $M$ với một không gian thuần nhất $H|G$, trong đó $H$ là nhóm ổn định của một điểm $x_0$ của $M$. Tác động của $G$ trên $M$ được gọi là không nguyên thủy nếu tồn tại một đa tạp con đóng $V$ của $M$ thuộc lớp $C^\infty$ sao cho $0 < \dim V < \dim M$ và với mọi biến đổi $V_s$ (trong đó $s \in G$) thì hoặc bằng $V$ hoặc rời nhau với $V$. Để điều này xảy ra, điều kiện cần và đủ là tồn tại một nhóm con Lie $L$ của $G$ sao cho $H \subset L \subset G$ và $\dim(H) < \dim(L) < \dim(G)$. Nếu không như vậy, tác động của $G$ trên $M$ được gọi là nguyên thủy; để có điều này, chỉ cần không tồn tại đại số con nào của $L(G)$ nằm giữa $L(G)$ và $L(H)$ và phân biệt với $L(G)$ và $L(H)$.

(c) Dưới giả thiết của (b), gọi $\mathscr{L}$ là ảnh của $L(G)$ dưới luật phép toán vô cùng bé liên kết với tác động của $G$. Gọi $\mathscr{E}$ là đại số các hàm lớp $C^\infty$ trên $M$ và $\mathfrak{m}$ là iđêan cực đại của $\mathscr{E}$ gồm các hàm trong $\mathscr{E}$ triệt tiêu tại $x_0$; ta ký hiệu bởi $\mathscr{L}_p$ với $p = -1, 0, 1, 2, \ldots$ tập các $x \in \mathscr{L}$ sao cho $\theta(X)f \in \mathfrak{m}^{p+1}$ với mọi $f \in \mathscr{E}$; khi đó $\mathscr{L}_{-1} = \mathscr{L}$ và $\mathscr{L}_0$ là ảnh của $L(H)$ dưới luật phép toán vô cùng bé. Nếu $(U, \phi, \mathbf{R}^n)$ là một bản đồ của $M$ tâm tại $x_0$ và $X_1, \ldots, X_n$ là các trường vectơ trên $U$ được xác định bởi bản đồ ấy, thì các phần tử của $\mathscr{L}_p$ là các $a_1X_1 + \cdots + a_nX_n$ với $a_1, \ldots, a_n$ trong $\mathfrak{m}^p|U$. Hãy chỉ ra rằng $[\mathscr{L}_p, \mathscr{L}_q] \subset \mathscr{L}_{p+q}$ (với quy ước $\mathscr{L}_{-2} = \mathscr{L}$). Nếu tồn tại $Y \in \mathscr{L}_p$ (với $p \geq 0$) sao cho $Y \notin \mathscr{L}_{p+1}$, thì tồn tại $x \in L$ sao cho $[Y, X] \notin \mathscr{L}_p$. Các $\mathscr{L}_p$ là các đại số Lie con của $\mathscr{L}$. Với $p \geq 0$, $\mathscr{L}_p$ là một iđêan của $\mathscr{L}_0$. Gọi $\rho$ là biểu diễn tuyến tính chính tắc của $H$ trên $T_{x_0}(M)$. Đại số Lie của $H/(Ker \rho)$ đẳng cấu với $\mathscr{L}_0/\mathscr{L}_1$.

(d) Giả sử thêm rằng giao của các $\mathscr{L}_p$ là $\{0\}$. Khi đó tồn tại một chỉ số lớn nhất $r$ sao cho $\mathscr{L}_r \neq \{0\}$ và mọi $\mathscr{L}_j$ có chỉ số $\leq r$ đều phân biệt. Với $p \geq 0$,

(e) Giả thiết của (d) được thỏa mãn nếu M là giải tích và G tác động giải tích trên M.