Bài tập 11, § 2

Cho G là một nhóm Lie compact. Một nhóm con S của G được gọi là thuộc kiểu (C) nếu nó bằng bao đóng của một nhóm con cyclic có chỉ số hữu hạn trong bộ chuẩn hóa của nó.

a) Cho S là một nhóm con thuộc kiểu (C); chứng tỏ rằng $S_0$ là một xuyến cực đại của $G_0$, và S là tích trực tiếp của $S_0$ và một nhóm con cyclic hữu hạn.

b) Chứng minh rằng mọi phần tử $g$ của G đều được chứa trong một nhóm con thuộc kiểu (C) (hãy xét nhóm sinh bởi $g$ và một xuyến cực đại của $Z(g)_0$).

$^{11}$Để có một chứng minh của định lý này, xem chẳng hạn S. LEFSCHETZ, Intersections and

transformations of complexes and manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926),

tr. 1-49. c) Cho S là một nhóm con thuộc kiểu (C), và $s$ là một phần tử của S sao cho tập hợp các lũy thừa của $s$ là trù mật trong S. Chứng tỏ rằng mọi phần tử của $sG_0$ đều liên hợp dưới Int(G$_0$) với một phần tử của $sS_0$ (dùng phương pháp của Bài tập 10).

d) Ký hiệu bởi $p: G\rightarrow G/G_0$ ánh xạ thương. Chứng tỏ rằng ánh xạ $S \rightarrow p(S)$ cảm sinh một song ánh từ tập hợp các lớp liên hợp của các nhóm con của G thuộc kiểu (C) lên tập hợp các lớp liên hợp của các nhóm con cyclic của $G/G_0$.

e) Cho S là một nhóm con của G thuộc kiểu (C); ký hiệu bởi $S_{\rho}$ tập hợp các phần tử của S mà lớp của chúng trong $S/S_0$ sinh ra $S/S_0$. Chứng tỏ rằng hai phần tử của $S_{\rho}$ liên hợp trong G thì liên hợp trong $N_G(S)$.