Exercice 11, § 2

Soit G un groupe de Lie compact. On dit qu’un sous-groupe S de G est de type (C) s’il est égal à l’adhérence d’un sous-groupe cyclique et d’indice fini dans son normalisateur. a) Soit S un sous-groupe de type (C) ; montrer que $S_0$ est un tore maximal de $G_0$, et que S est produit direct de $S_0$ et d’un sous-groupe cyclique fini. b) Démontrer que tout élément $g$ de G est contenu dans un sous-groupe de type (C) (considérer le groupe engendré par $g$ et par un tore maximal de $Z(g)_0$). c) Soient S un sous-groupe de type (C), et s un élément de S dont l’ensemble des puissances soit dense dans S. Montrer que tout élément de $sG_0$ est conjugué par $\operatorname{Int}(G_0)$ à un élément de $sS_0$ (on pourra utiliser la méthode de l’exerc. 10). d) On note $p : G \to G/G_0$ l’application de passage au quotient. Montrer que l’application $S \mapsto p(S)$ induit une bijection de l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes de G de type (C) sur l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes cycliques de $G/G_0$. e) Soit S un sous-groupe de type (C) de G ; on note $S_p$ l’ensemble des éléments de S dont la classe dans $S/S_0$ engendre $S/S_0$. Montrer que deux éléments de $S_p$ qui sont conjugués dans G sont conjugués dans $N_G(S)$.