Bài tập 9, § 2

Bài tập này dành cho một chứng minh khác của Định lý 2. Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, T là một xuyến cực đại của G, N là chuẩn hóa tử của nó. Ký hiệu $G\times^NT$ là đa tạp thương của $G\times T$ bởi N đối với phép toán được xác định bởi $(g, t).n= (gn, n^{-1}tn) ($Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 6.5.1). a) Chứng minh rằng cấu xạ $(g, t) \rightarrow gtg^{-1}$ từ $G\times T$ vào G xác định qua phép lấy thương một cấu xạ giải tích $f: G\times^NT\rightarrow G$.

b) Cho $\theta$ là một phần tử của T sao cho tập hợp các lũy thừa của nó trù mật trong T (General Topology, Chap. VII, §1, no. 3, Cor. 2 of Prop. 7). Chứng minh rằng $f^{-1}(\theta ) =\{x\}$, trong đó $x$ là lớp của $(e, \theta )$ trong $G\times^NT$, và rằng $f$ là étale tại $x$.

c) Kết luận từ Bài tập $7d)$ rằng $f$ là toàn ánh, và suy ra một chứng minh khác của Định lý 2.