Exercice 9, § 2

Cet exercice est consacré à une autre démonstration du th. 2. Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal de G, N son normalisateur. On note $G \times^N T$ la variété quotient de $G \times T$ par N pour l’action définie par $(g, t).n = (gn, n^{-1}tn)$ (VAR, R, 6.5.1). a) Montrer que le morphisme $(g, t) \mapsto gtg^{-1}$ de $G \times T$ dans G définit par passage au quotient un morphisme analytique $f : G \times^N T \to G$. b) Soit $\theta$ un élément de T dont l’ensemble des puissances soit dense dans T (TG, VII, p. 7, cor. 2). Montrer que $f^{-1}(\theta) = \{ x \}$, où x est la classe de $(e, \theta)$ dans $G \times^N T$, et que $f$ est étalement en $x$. c) Conclure de l’exer. 7, d) que $f$ est surjectif, et en déduire une autre démonstration du th. 2.