Bài tập 2, § 3

Ký hiệu K là một trong các trường $\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}$, và $n$ là một số nguyên $\geq 1$. Trang bị cho không gian $K^n_s$ dạng Hermit thông thường.

a) Chứng minh rằng $\mathbf{U}(n,K)$ là một nhóm Lie thực compact.

b) Chứng minh rằng mặt cầu bán kính 1 trong $K^n_s$ là một không gian thuần nhất Lie (thực) đối với $\mathbf{U}(n,K)$; bộ ổn định của một điểm đẳng cấu với $\mathbf{U}(n-1,K)$.

c) Suy ra rằng các nhóm $\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ và $\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$ là liên thông, và $\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ có hai thành phần liên thông.

d) Chứng minh rằng các nhóm $\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ và $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ là liên thông.

e) Chứng minh rằng nhóm $\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ (tương ứng $\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$) là tích nửa trực tiếp của $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ (tương ứng $\mathbf{T}$) với $\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ (tương ứng $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$).