Exercice 2, § 3

On désigne par K l’un des corps $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$, et par $n$ un entier $\geq 1$. On munit l’espace $K_s^n$ de la forme hermitienne usuelle. a) Montrer que $U(n, K)$ est un groupe de Lie réel compact.

¹ Pour une démonstration de ce théorème, voir par exemple S. Lefschetz, Intersections and transformations of complexes and manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., 28 (1926), 1-49.

EXERCICES

LIE IX.111

b) Démontrer que la sphère de rayon 1 dans $K_s^n$ est un espace homogène de Lie (réel) pour $\mathbf{U}(n, K)$; le fixateur d’un point est isomorphe à $\mathbf{U}(n - 1, K)$. c) En déduire que les groupes $\mathbf{U}(n, \mathbf{C})$ et $\mathbf{U}(n, \mathbf{H})$ sont connexes, et que $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$ a deux composantes connexes. d) Montrer que les groupes $\mathbf{SO}(n, \mathbf{R})$ et $\mathbf{SU}(n, \mathbf{C})$ sont connexes. e) Montrer que le groupe $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$ (resp. $\mathbf{U}(n, \mathbf{C})$) est produit semi-direct de $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ (resp. $\mathbf{T}$) par $\mathbf{SO}(n, \mathbf{R})$ (resp. $\mathbf{SU}(n, \mathbf{C})$).