Bài tập 5, § 3

Với $n$ là một số nguyên $\geq 1$, ký hiệu Spin$(n,\mathbf{R})$ là nhóm Clifford thu gọn liên kết với dạng toàn phương thông thường trên $\mathbf{R}^n($Đại số, Chương IX, §9, no. 5).

a) Chứng minh rằng Spin$(n,\mathbf{R})$ là một nhóm Lie compact và rằng đồng cấu toàn ánh $\varphi :$ Spin$(n,\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R}) ($loc. cit.) là giải tích, với hạt nhân $\{+1,-1\}$.

b) Chứng minh rằng, với $n\geq 2$, Spin$(n,\mathbf{R})$ là liên thông và đơn liên (sử dụng Bài tập 2). Nhóm $\pi_1(\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R}))$ là cyclic có cấp 2.

c) Gọi $Z_n$ là tâm của Spin$(n,\mathbf{R})$. Chứng minh rằng $Z_n=\{+1,-1\}$ nếu $n$ là lẻ, và $Z_n=\{+1,-1, \varepsilon ,-\varepsilon \}$ nếu $n$ là chẵn, trong đó $\varepsilon =e_1. . . e_n$ là tích của các phần tử của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$; nhóm $Z_{2r}$ đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^2$ (resp. với $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$) nếu $r$ là chẵn (resp. lẻ).

d) Chứng minh rằng mọi nhóm Lie compact liên thông hầu như đơn kiểu $B_n$ $(n\geq 2)$ đều đẳng cấu với Spin$(2n+ 1,\mathbf{R})$ hoặc $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n+ 1,\mathbf{R})$.

e) Nếu $r$ là lẻ (resp. chẵn) và $\geq 2$, mọi nhóm Lie compact liên thông hầu như đơn kiểu $D_r$ đều đẳng cấu với Spin$(2r,\mathbf{R}),\mathbf{S}\mathbf{O}(2r,\mathbf{R})$ hoặc $\mathbf{S}\mathbf{O}(2r,\mathbf{R})/\{\pm I_{2r}\}$ (resp. với một trong các nhóm trước đó hoặc Spin$(2r,\mathbf{R})/\{1, \varepsilon \}$).