Exercice 5, § 3

Pour $n$ entier $\geqslant 1$, on désigne par $\mathbf{Spin}(n, \mathbf{R})$ le groupe de Clifford réduit associé à la forme quadratique usuelle sur $\mathbf{R}^n$ (A, IX, § 9, no 5). a) Montrer que $\mathbf{Spin}(n, \mathbf{R})$ est un groupe de Lie compact et que l’homomorphisme surjectif $\varphi : \mathbf{Spin}(n, \mathbf{R}) \to \mathbf{SO}(n, \mathbf{R})$ (loc. cit.) est analytique, de noyau $\{ +1, -1 \}$. b) Pour $n \geqslant 2$, montrer que $\mathbf{Spin}(n, \mathbf{R})$ est connexe et simplement connexe (utiliser l’exerc. 2). Le groupe $\pi_1(\mathbf{SO}(n, \mathbf{R}))$ est cyclique d’ordre 2. c) Soit $Z_n$ le centre de $\mathbf{Spin}(n, \mathbf{R})$. Montrer qu’on a $Z_n = \{ +1, -1 \}$ si $n$ est impair, et $Z_n = \{ +1, -1, \varepsilon, -\varepsilon \}$ si $n$ est pair, où $\varepsilon = e_1 ... e_n$ est le produit des éléments de la base canonique de $\mathbf{R}^n$; le groupe $Z_{2r}$ est isomorphe à $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^2$ (resp. à $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$) si $r$ est pair (resp. impair). d) Démontrer que tout groupe de Lie compact connexe presque simple de type $B_n$ ($n \geqslant 2$) est isomorphe à $\mathbf{Spin}(2n + 1, \mathbf{R})$ ou à $\mathbf{SO}(2n + 1, \mathbf{R})$. e) Si $r$ est impair (resp. pair) $\geqslant 2$, tout groupe de Lie compact connexe presque simple de type $D_r$ est isomorphe à $\mathbf{Spin}(2r, \mathbf{R})$, à $\mathbf{SO}(2r, \mathbf{R})$ ou à $\mathbf{SO}(2r, \mathbf{R})/\{ \pm I_{2r} \}$ (resp. à l’un des groupes précédents, ou à $\mathbf{Spin}(2r, \mathbf{R})/\{ 1, \varepsilon \}$).