Bài tập 7, § 3

Cho A là đại số các octonion Cayley (Đại số, Chap. III, App., no. 3), với cơ sở $(e_i)_{0\leq i\leq 7}$ của loc. cit. Ký hiệu V là không gian con của các octonion thuần được sinh bởi $e_1, . . . , e_7$ và E là không gian con của V được sinh bởi $e_1, e_2, e_3, e_5, e_6, e_7$. Đồng nhất đại số con của A được sinh bởi $e_0, e_4$ với trường $\mathbf{C}$ các số phức, và ký hiệu G là nhóm tôpô các tự đẳng cấu của đại số có đơn vị A.

a) Ký hiệu Q là dạng toàn phương trên V cảm sinh bởi chuẩn Cayley, sao cho $(e_i)_{1\leq i\leq 7}$ là một cơ sở trực chuẩn của V. Chứng minh rằng ánh xạ $\sigma \rightarrow \sigma |V$ là một đơn cấu từ G vào nhóm $\mathbf{S}\mathbf{O}$(Q), nhóm này đẳng cấu với $\mathbf{S}\mathbf{O}(7,\mathbf{R})$.

b) Chỉ ra rằng phép nhân của A trang bị cho E cấu trúc của một không gian vectơ $\mathbf{C}$ có chiều 3, mà $\{e_1, e_2, e_3\}$ là một cơ sở. Ký hiệu $\Phi$ là dạng Hermit trên E mà cơ sở này là trực chuẩn. Gọi H là nhóm con cố định của $e_4$ trong G. Chỉ ra rằng ánh xạ $\sigma \rightarrow \sigma |E$ là một đẳng cấu từ H lên nhóm $\mathbf{S}\mathbf{U}(\Phi )$, nhóm này đẳng cấu với $\mathbf{S}\mathbf{U}(3,\mathbf{C})$. Ánh xạ $\sigma \rightarrow \sigma (e_4)$ cảm sinh một phép nhúng của $G/H$ vào mặt cầu của V, mặt cầu này đẳng cấu với $\mathbf{S}_6$. c) Gọi T là xuyến trong H gồm các tự đẳng cấu $\sigma$ sao cho $\sigma (e_0) =e_0,\sigma (e_1) =\alpha e_1,\sigma (e_2) =\beta e_2,\sigma (e_3) =\gamma e_3,\sigma (e_4) =e_4,\sigma (e_5) =$ $\overline{\alpha e}_5,\sigma (e_6) = \overline{\beta e}_6,\sigma (e_7) = \overline{\gamma e}_7$, trong đó $\alpha , \beta , \gamma$ là ba số phức có môđun 1 sao cho $\alpha \beta \gamma = 1$. Gọi N là chuẩn hóa tử của T trong G; chỉ ra rằng $N/T$ có cấp 12 (chú ý rằng mỗi phần tử của N phải ổn định tập hợp các $\pm e_i,i\not= 0$); suy ra rằng G có hạng 2.

d) Chỉ ra rằng G là liên thông nửa đơn kiểu $G_2$ và rằng $G/H$ có thể được đồng nhất với $\mathbf{S}_6$ (chỉ ra rằng $G_0\not= H$; suy ra rằng $G_0$ có kiểu $G_2$, rồi dùng một lập luận về chiều). Mọi nhóm compact kiểu $G_2$ đều đẳng cấu với G.