Exercice 7, § 3

Soit $A$ l’algèbre des octonions de Cayley (A, III, p. 176), munie de la base $(e_i)_{0 \leqslant i \leqslant 7}$ de loc. cit. Notons $V$ le sous-espace des octonions purs engendré par $e_1, ..., e_7$ et $E$ le sous-espace de $V$ engendré par $e_1, e_2, e_3, e_5, e_6, e_7$. Identifions la sous-algèbre de $A$ engendrée par $e_0, e_4$ au corps $\mathbf{C}$ des nombres complexes, et notons $G$ le groupe topologique des automorphismes de l’algèbre unifière $A$. a) Notons $Q$ la forme quadratique sur $V$ induite par la norme cayleyenne, de sorte que $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant 7}$ est une base orthonormale de $V$. Démontrer que l’application $\sigma \mapsto \sigma|V$ est un homomorphisme injectif de $G$ dans le groupe $\mathbf{SO}(Q)$, isomorphe à $\mathbf{SO}(7, \mathbf{R})$. b) Montrer que la multiplication de $A$ munit $E$ d’une structure de $\mathbf{C}$-espace vectoriel de dimension 3, dont $\{ e_1, e_2, e_3 \}$ est une base. Notons $\Phi$ la forme hermitienne sur $E$ pour laquelle cette base est orthonormale. Soit $H$ le fixateur de $e_4$ dans $G$. Montrer que l’application $\sigma \mapsto \sigma|E$ est un isomorphisme de $H$ sur le groupe $\mathbf{SU}(\Phi)$, isomorphe à $\mathbf{SU}(3, \mathbf{C})$. L’application $\sigma \mapsto \sigma(e_4)$ induit un plongement de $G/H$ dans la sphère de $V$, isomorphe à $S_6$.

c) Soit T le tore de H formé des automorphismes σ tels que $\sigma(e_0) = e_0, \sigma(e_1) = \alpha e_1, \sigma(e_2) = \beta e_2, \sigma(e_3) = \gamma e_3, \sigma(e_4) = e_4, \sigma(e_5) = \overline{\alpha} e_5, \sigma(e_6) = \overline{\beta} e_6, \sigma(e_7) = \overline{\gamma} e_7$, où $\alpha, \beta, \gamma$ sont trois nombres complexes de module 1 tels que $\alpha \beta \gamma = 1$. Soit N le normalisateur de T dans G ; montrer que N/T est d’ordre 12 (noter que chaque élément de N doit stabiliser l’ensemble des $\pm e_i, i \neq 0$) ; en déduire que G est de rang 2. d) Montrer que G est connexe semi-simple de type $G_2$ et que G/H s’identifie à $S_6$ (montrer que $G_0 \neq H$ ; en déduire que $G_0$ est de type $G_2$, puis utiliser un argument de dimension). Tout groupe compact de type $G_2$ est isomorphe à G.