Bài tập 9, § 3

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie compact, $\mathfrak{t}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$; gọi $(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$ là một hệ Chevalley trong đại số khả quy tách $(\mathfrak{g}_{\mathbf{C}},\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$ sao cho $X_{\alpha}$ và $X_{-\alpha}$ liên hợp với nhau (đối với $\mathfrak{g}$) với mọi $\alpha \in R$.

a) Gọi $\mathscr{T}$ là một môđun con $\mathbf{Z}$ của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ chứa các $iH_{\alpha}(\alpha \in R)$ và sao cho $\alpha (\mathscr{T})\subset \mathbf{Z}i$ với mọi $\alpha \in R$. Hãy chỉ ra rằng môđun con $\mathbf{Z}$ $\mathscr{G}$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ được sinh bởi $\mathscr{T}$ và các phần tử $u_{\alpha}$ và $v_{\alpha}(\alpha \in R)$ là một đại số con Lie $\mathbf{Z}$ của $\mathfrak{g}$.

b) Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{t}$) là đại số Lie của một nhóm compact G (resp. của một xuyến cực đại T của G). Gọi $\Gamma (T)$ là hạt nhân của đồng cấu exp$_T:\mathfrak{t}\rightarrow T$. Hãy chỉ ra rằng $\mathbf{Z}$-môđun $(2\pi )^{-1}\Gamma (T)$ thỏa mãn các giả thiết của a).

c) Gọi $\langle ,\rangle$ là một tích vô hướng bất biến trên $\mathfrak{g}$; gọi $\mu$ (resp. $\tau$ ) là độ đo Haar trên $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{t}$) tương ứng với độ đo Lebesgue khi $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{t}$) được đồng nhất với một không gian $\mathbf{R}^n$ bằng một cơ sở trực chuẩn. Cũng ký hiệu bởi $\mu$ (resp. $\tau$ ) độ đo trên $\mathfrak{g}/\mathscr{G}$ (resp. $\mathfrak{t}/\mathscr{T}$) là thương của $\mu$ (resp. $\tau$ ) bởi độ đo Haar chuẩn hóa trên $\mathscr{G}$ (resp. $\mathscr{T}$). Hãy chứng minh công thức $\mu(\mathfrak{g}/\mathscr{G}) =\tau (\mathfrak{t}/\mathscr{T}).\prod_{\alpha\in R_+}\langle iH_{\alpha},iH_{\alpha}\rangle$.