Exercice 9, § 3

Soient g une algèbre de Lie compacte, t une sous-algèbre de Cartan de g ; soit $(X_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ un système de Chevalley de l’algèbre réductive déployée $(g_c, t_c)$, tel que $X_\alpha$ et $X_{-\alpha}$ soient conjugués (par rapport à g) pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$. a) Soit $\mathscr{T}$ un sous-$\mathbf{Z}$-module de $t_c$ contenant les $iH_\alpha (\alpha \in \mathbf{R})$ et tel que $\alpha(\mathscr{T}) \subset \mathbf{Z}i$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$. Montrer que le sous-$\mathbf{Z}$-module $\mathscr{G}$ de $g_c$ engendré par $\mathscr{T}$ et par les éléments $u_\alpha$ et $v_\alpha$ ($\alpha \in \mathbf{R}$) est une sous-$\mathbf{Z}$-algèbre de Lie de g. b) On suppose que g (resp. t) est l’algèbre de Lie d’un groupe compact G (resp. d’un tore maximal T de G). Soit $\Gamma(T)$ le noyau de l’homomorphisme $\exp_T : t \to T$. Montrer que le $\mathbf{Z}$-module $(2\pi)^{-1}\Gamma(T)$ vérifie les hypothèses de a). c) Soit $\langle , \rangle$ un produit scalaire invariant sur g ; soit $\mu$ (resp. $\tau$) la mesure de Haar sur g (resp. t) qui correspond à la mesure de Lebesgue lorsqu’on identifie g (resp. t) à un espace $\mathbf{R}^n$ à l’aide d’une base orthonormale. On note encore $\mu$ (resp. $\tau$) la mesure sur $g/\mathscr{G}$ (resp. $t/\mathscr{T}$) quotient de $\mu$ (resp. $\tau$) par la mesure de Haar normalisée sur $\mathscr{G}$ (resp. $\mathscr{T}$). Démontrer la formule $\mu(g/\mathscr{G}) = \tau(t/\mathscr{T}) \cdot \prod_{\alpha \in \mathbf{R}_+} \langle iH_\alpha, iH_\alpha \rangle$.