Bài tập 12, § 4

Giả sử rằng G là liên thông đơn; với mọi $\alpha \in R(G,T)$, đặt $t_{\alpha}=$ exp($\frac{1}{2}K_{\alpha}$). Đặt $N = N_G$(T), và ký hiệu $\varphi : N\rightarrow W$ là ánh xạ chính tắc. Cho B là một cơ sở của $R(G,T)$; chọn một phần tử $n_{\alpha}$ của $(N\cap S_{\alpha})$ -- $(T\cap S_{\alpha})$ với mọi $\alpha \in B$.

a) Chứng minh rằng $\varphi (n_{\alpha}) =s_{\alpha}$ và $n^2_{\alpha}=t_{\alpha}$, suy ra rằng $n^4_{\alpha}= 1$.

b) Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai phần tử phân biệt của B, và cho $m_{\alpha \beta}$ là cấp của $s_{\alpha}s_{\beta}$ trong W. Chứng minh rằng

$n_{\alpha}n_{\beta}=n_{\beta}n_{\alpha}$ nếu $m_{\alpha \beta}= 2$

$n_{\alpha}n_{\beta}n_{\alpha}=n_{\beta}n_{\alpha}n_{\beta}$ nếu $m_{\alpha \beta}= 3$

$(n_{\alpha}n_{\beta})^2= (n_{\beta}n_{\alpha})^2$ nếu $m_{\alpha \beta}= 4$

$(n_{\alpha}n_{\beta})^3= (n_{\beta}n_{\alpha})^3$ nếu $m_{\alpha \beta}= 6$

(nếu chẳng hạn $m_{\alpha \beta}= 3$, thì $(s_{\alpha}s_{\beta})s_{\alpha}(s_{\alpha}s_{\beta})^{-1}=s_{\beta}$ và $s_{\alpha}s_{\beta}(\alpha ) =\beta$; chứng minh rằng $n_{\alpha}n_{\beta}n_{\alpha}n^{-1}_{\beta}n^{-1}_{\alpha}n^{-1}_{\beta}$ thuộc $S_{\beta}$, và kết luận bằng cách nhận xét rằng $S_{\alpha}\cap S_{\beta}\cap T =\{e\}$).

c) Suy ra từ b) rằng tồn tại một tiết diện duy nhất $\nu : W\rightarrow N$ của $\varphi$ sao cho $\nu (s_{\alpha}) =n_{\alpha}$ và $\nu (ww') =\nu (w)\nu (w')$ nếu $l(ww') =l(w) +l(w')$ (trong đó $l(w)$ biểu thị độ dài của w đối với hệ sinh $(s_{\alpha})_{\alpha\in B}$; cf. Chap. VI, §1, no. 5, Prop. 5). Đặt $n_w=\nu (w)$.

d) Cho $W^*$ là nhóm con của N sinh bởi các $n_{\alpha}$; chứng minh rằng $W^*\cap T$ là nhóm con $T_2$ của T gồm các phần tử có cấp $\leq 2$ và rằng W có thể được đồng nhất với $W^*/T_2$.

e) Cho $w\in W$ sao cho $w^2= 1$; chứng minh rằng $n^2_w=\prod_{\alpha\in R_w}t_{\alpha}$, trong đó $R_w$ là

tập hợp các nghiệm dương $\alpha$ sao cho $w(\alpha )<0$ (viết $w=s_{\alpha_1}. . . s_{\alpha_r}$, với $r=l(w)$ và $\alpha_i\in B$; áp dụng $c$) và Chương VI, §1, no. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17). f) Giả sử rằng G là gần đơn. Cho $c$ là một phép biến đổi Coxeter trong W và $h$ là số Coxeter của W (Chương VI, §1, no. 11). Chứng minh rằng $n^h_c=$ $\prod_{\alpha\in R_+}t_{\alpha}$ (dùng $c$),e) và Bài tập. 2 của Chương V, §6).