Exercice 12, § 4

On suppose G simplement connexe ; pour tout $\alpha \in R(G, T)$, on pose $t_\alpha = \exp(\frac{1}{2} K_\alpha)$. On pose N = $N_G(T)$, et on note $\varphi : N \to W$ l’application canonique. Soit B une base de $R(G, T)$; pour tout $\alpha \in B$, on choisit un élément $n_\alpha$ de $(N \cap S_\alpha) - (T \cap S_\alpha)$. a) Montrer qu’on a $\varphi(n_\alpha) = s_\alpha$ et $n_\alpha^2 = t_\alpha$, donc $n_\alpha^4 = 1$. b) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux éléments distincts de B, et soit $m_{\alpha \beta}$ l’ordre de $s_\alpha s_\beta$ dans W. Prouver qu’on a

(si par exemple $m_{\alpha \beta} = 3$, on a $(s_\alpha s_\beta) s_\alpha (s_\alpha s_\beta)^{-1} = s_\beta$ et $s_\alpha s_\beta(\alpha) = \beta$; montrer que $n_\alpha n_\beta n_\alpha n_\beta^{-1} n_\alpha^{-1} n_\beta^{-1}$ appartient à $S_\beta$, et conclure en remarquant que $S_\alpha \cap S_\beta \cap T = \{ e \}$). c) Déduire de b) qu’il existe une unique section $v : W \to N$ de $\varphi$ telle que $v(s_\alpha) = n_\alpha$ et $v(w w') = v(w) v(w')$ si $l(w w') = l(w) + l(w')$ (on désigne par $l(w)$ la longueur de w par rapport au système générateur $(s_\alpha)_{\alpha \in B}$; cf. IV, § 1, n° 5, prop. 5). On pose $n_w = v(w)$. d) Soit $W^*$ le sous-groupe de N engendré par les $n_\alpha$; montrer que $W^* \cap T$ est le sous-groupe $T_2$ de T formé des éléments d’ordre $\leq 2$ et que W s’identifie à $W^*/T_2$. e) Soit $w \in W$ tel que $w^2 = 1$; montrer qu’on a $n_w^2 = \prod_{\alpha \in R_w^+} t_\alpha$, où $R_w$ est l’ensemble des racines positives $\alpha$ telles que $w(\alpha) < 0$ (écrire $w = s_{\alpha_1} \ldots s_{\alpha_r}$, avec $r = l(w)$ et $\alpha_i \in B$; appliquer c) et VI, § 1, n° 6, cor. 2 à la prop. 17). f) On suppose G presque simple. Soient c une transformation de Coxeter de W et h le nombre de Coxeter de W (VI, § 1, n° 11). Montrer qu’on a $n_c^h = \prod_{\alpha \in R^+} t_\alpha$ (utiliser c), e) et l’exerc. 2 de V, § 6).