Bài tập 13, § 4

a) Chọn một cơ sở B của $R(G,T)$, và ký hiệu $R_+$ là tập hợp các nghiệm dương của $R(G,T)$. Chứng minh rằng $z_G=\prod_{\alpha\in R_+}$ exp($\frac{1}{2}K_{\alpha}$) là một phần tử của C(G),

độc lập với lựa chọn của T và của B; ta có $z_G^2=e$.

b) Cho H là một nhóm Lie compact liên thông khác. Khi đó $z_{G\times H}= (z_G, z_H)$; chứng minh rằng, nếu $f: G\rightarrow H$ là một cấu xạ toàn ánh của các nhóm Lie, thì $f(z_G) =$ $z_H$.

c) Đặt $R = R(G,T)$; giả sử rằng G đơn liên, sao cho X(T) có thể được đồng nhất với P(R). Chứng minh rằng hạt nhân của đồng cấu $\chi \rightarrow \chi (z_G)$ từ X(T) đến $\{1,-1\}$ là nhóm con $P'(R)$ được định nghĩa trong Bài tập 8 của Chương VI, §1.

d) Nếu $G =\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$, thì $z_G= (-1)^{n+1}I_n$;

nếu $G =\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$, thì $z_G=-I_n$;

nếu G = Spin$(n,\mathbf{R})$ với $n\equiv 3,4,5$ hoặc 6 (mod 8), thì $z_G=-1$;

nếu G = Spin$(n,\mathbf{R})$ với $n\equiv 0,1,2,7$ (mod 8), thì $z_G= 1$;

nếu G thuộc kiểu $E_6,E_8,F_4$ hoặc $G_2$, thì $z_G=e$;

nếu G là đơn liên thuộc kiểu $E_7$, thì $z_G$ là phần tử duy nhất khác phần tử đơn vị của C(G).

(Dùng Chương VI, §4, Bài tập 5.)